庫侖定理(庫侖定律的所有公式)
在學(xué)習(xí)物理知識的時(shí)候，要把一些物理概念和規(guī)律與物理學(xué)史結(jié)合起來，講解理論的來龍去脈，讓學(xué)習(xí)者得到一個(gè)動(dòng)態(tài)的、主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，消除物理知識的神秘性，從而增強(qiáng)思維的靈活性。通過研究物理學(xué)史，了解物理學(xué)家的成敗，也可以增強(qiáng)我們對物理學(xué)的興趣，增強(qiáng)我們對“細(xì)節(jié)推動(dòng)物理學(xué)”的信心。
本文以庫侖定律為例，結(jié)合物理學(xué)史，使“庫侖”還原為真正的科學(xué)家，使“庫侖”不再只是電的單位，“庫侖定律”也不只是一個(gè)干巴巴的物理公式。今年恰逢C·庫侖(1736-1806)誕生280周年，逝世210周年。本文簡要回顧了庫侖定律的發(fā)現(xiàn)過程，希望對讀者有所啟發(fā)。
科學(xué)家對電的早期研究
人類對電現(xiàn)象的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長而曲折的道路。商代時(shí)期，甲骨文中出現(xiàn)了“雷”和“電”的形聲字。然而，直到16世紀(jì)，人們才對電的現(xiàn)象有了更深刻的認(rèn)識。作為英國女王伊麗莎白一世的內(nèi)科醫(yī)生，吉爾伯特(W. Gilbert，1544-1603)首先提出了“電吸引”的概念，并系統(tǒng)地研究了靜電現(xiàn)象。600年，吉爾伯特發(fā)現(xiàn)一些物質(zhì)相互摩擦后可以吸引光線和小物體。他把這種力稱為“琥珀力”。后來，根據(jù)希臘單詞“琥珀”的詞根擬定了科學(xué)術(shù)語“電”。
18世紀(jì)，牛頓創(chuàng)立經(jīng)典力學(xué)理論后，運(yùn)動(dòng)三定律和萬有引力定律奠定了物理科學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，統(tǒng)一了天上和地上的運(yùn)動(dòng)，完成了對自然規(guī)律的之一次理論概括和總結(jié)。18世紀(jì)中期，人們堅(jiān)信萬有引力定律的正確性，并將其外推到電和磁的研究中。18世紀(jì)后期，隨著實(shí)驗(yàn)條件的不斷改善，科學(xué)家們開始了電荷相互作用的實(shí)驗(yàn)研究。
1733年，法國科學(xué)家杜菲(1698-1739)根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，大膽地得出自然界存在不同種類的電荷的結(jié)論。一個(gè)叫“琥珀電”；一種叫“玻璃電”。1747年，美國科學(xué)家富蘭克林(B.Franklin，1706-1790)把絲綢摩擦的玻璃帶的電稱為“正電”，把毛皮摩擦的琥珀帶的電稱為“負(fù)電”，于是提出了正電和負(fù)電的概念。
1759年，德國科學(xué)家艾皮努斯(1724-1802)提出了一個(gè)假說，即電荷之間的排斥力和吸引力隨著帶電體之間距離的減小而增大。然而，伊皮努斯并沒有用實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)。1760年，D .伯努利(1700-1782)想知道電是否會像重力一樣服從平方反比定律。他的想法在當(dāng)時(shí)具有代表性。
1755年，富蘭克林觀察到電荷只分布在導(dǎo)體表面，而導(dǎo)體內(nèi)部沒有靜電效應(yīng)。他向英國科學(xué)家j·普里斯特利(1733-1804)講述了這一現(xiàn)象，建議普里斯特利重復(fù)實(shí)驗(yàn)并加以證實(shí)。普里斯特利曾經(jīng)從牛頓的萬有引力理論出發(fā)，將電荷的作用力與萬有引力進(jìn)行比較，推測電荷的作用力也符合平方反比定律的，但是他沒有用實(shí)驗(yàn)來證實(shí)這個(gè)結(jié)果，所以停留在推測的階段，最后被束之高閣。順帶一提，在科研過程中，科學(xué)家之間的交流與合作，可以集眾人之智慧，形成優(yōu)勢互補(bǔ)，往往能激起寶貴的創(chuàng)作火花，進(jìn)而發(fā)展成為重大的科研成果，推動(dòng)科學(xué)進(jìn)步。科學(xué)史上有很多這樣的歷史經(jīng)驗(yàn)可以借鑒。
在科學(xué)史上，有兩位英國科學(xué)家對電做了定量的實(shí)驗(yàn)研究，并得出了明確的結(jié)論。遺憾的是，他們沒能及時(shí)發(fā)表自己的研究成果，也沒有對科學(xué)的發(fā)展起到應(yīng)有的推動(dòng)作用。一個(gè)是J·羅賓遜(1739-1805)，一個(gè)是卡文迪什(1731-1810)。羅賓遜設(shè)計(jì)了一個(gè)杠桿裝置，得出電力服從平方反比定律的結(jié)論，指標(biāo)偏差δ =0.06。他認(rèn)為實(shí)驗(yàn)誤差導(dǎo)致指數(shù)過大。1801年，羅賓遜宣布了這項(xiàng)研究的結(jié)果。
從1772年到1773年，卡文迪什做了一個(gè)雙層同心球?qū)嶒?yàn)(圖1)，精確測量了功率和距離的關(guān)系。根據(jù)卡文迪什的分析，由于帶電金屬球殼內(nèi)部任何一點(diǎn)都沒有電力，如果將球殼切成兩半，在空腔中放入一個(gè)電荷，電荷將不受力的影響，這說明P點(diǎn)電荷上兩個(gè)球殼上電荷的靜電力相互抵消。卡文迪什證明，只有當(dāng)靜電力與距離的平方成反比時(shí)，這兩種力才會相互抵消。由此，他得到了服從平方反比定律的電功率，并將電功率表示為以下形式。卡文迪許的同心球?qū)嶒?yàn)比庫侖的扭秤實(shí)驗(yàn)早了11年。卡文迪什用的是當(dāng)年最原始的電測儀器，由于設(shè)計(jì)巧妙，得到了非常可靠的結(jié)果。
圖1卡文迪許及其雙層同心球照片
雖然卡文迪什是“所有有學(xué)問的人中最富有的，也是所有最富有的人中最有學(xué)問的”，但由于性格孤僻，他很少與人交往。直到卡文迪什去世，這項(xiàng)研究的結(jié)果沒有公開發(fā)表。1879年，麥克斯韋整理了卡文迪許的研究成果，他的工作為世人所知。如果這一成果能及時(shí)發(fā)表，也許庫侖定律的名字會被改一下。因此，為了推動(dòng)科學(xué)進(jìn)步，僅僅提出豐富的思想、開發(fā)新的實(shí)驗(yàn)、解釋新的問題或創(chuàng)造新的方法是不夠的。還需要有效和及時(shí)地與他人交流創(chuàng)新成果，并為共同的知識建設(shè)做出貢獻(xiàn)。只有那些能夠被其他科學(xué)家及時(shí)有效地認(rèn)識和利用的研究成果才是有意義的。所以在做科研的時(shí)候，要謹(jǐn)慎假設(shè)，大膽求證，善于分享，及時(shí)發(fā)表科研成果，讓科學(xué)造福人類。
庫侖定律的建立
法國工程師、物理學(xué)家?guī)靵鰧﹄妼W(xué)的研究做出了巨大貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“電磁學(xué)中的牛頓”。他出生在法國南部昂古萊姆的一個(gè)富裕家庭。1806年8月23日，庫侖在巴黎去世，享年70歲。庫侖是一個(gè)正直高尚的人。T.Young (1773-1829)稱贊庫侖的道德品質(zhì)和他的數(shù)學(xué)研究一樣優(yōu)秀。為紀(jì)念庫侖而發(fā)行的郵票中也有豐富的關(guān)于物理學(xué)史的材料(圖2)。人們可以看到庫侖的肖像，他的生卒年代，以及他使用的原始扭秤。
圖2郵票上的庫侖
1773年，法國科學(xué)院通過懸賞公開征集導(dǎo)航羅盤磁針的改進(jìn)方案。4年后，庫侖的論文《制造磁針的更佳方法研究》獲得一等獎(jiǎng)。認(rèn)為庫侖的磁針支撐在軸上必然會帶來摩擦力，所以建議用細(xì)毛或絲線懸掛磁針。庫侖在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，絲線扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭力與磁針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度成正比，這樣靜電力和磁力就可以用這個(gè)裝置來測量，這促使他發(fā)明了扭秤。庫侖扭秤的發(fā)明曾經(jīng)受到紡車的啟發(fā)。他注意到鄉(xiāng)下紗線的斷頭，而且總是反方向卷曲。紗線捻得越緊，要繞的圈數(shù)就越多。他認(rèn)為可以根據(jù)紗線卷曲的程度來測量力，然后用它來測量電荷之間的力。
1785年，庫侖通過扭秤實(shí)驗(yàn)測得兩個(gè)電荷之間的作用力與它們之間的距離的關(guān)系。他總結(jié)道:“兩個(gè)帶同種電荷的小球之間的排斥力與兩個(gè)球中心距離的平方成反比。”1785年，庫侖在他的論文《電力定律》中詳細(xì)介紹了實(shí)驗(yàn)裝置、測試過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
庫侖扭秤(圖3)由一根懸掛在細(xì)長金屬絲上的光棒和兩個(gè)連接在光棒兩端的平衡球組成。當(dāng)球沒有受力時(shí)，光條處于一定的平衡狀態(tài)。如果兩個(gè)球中的一個(gè)帶電，另一個(gè)帶相同電荷的球放在它附近，電就會作用在球上，使可移動(dòng)的球立即被排斥，使桿繞懸掛點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直到懸掛線的扭力和電力達(dá)到平衡。由于吊線很細(xì)，作用在球上的很小的力就能使桿明顯偏離原來的位置，旋轉(zhuǎn)角度與力成正比。兩個(gè)帶電體之間的不同距離易于調(diào)整和測量。
圖3輪庫扭秤的組件
在庫侖的時(shí)代，既沒有電荷單位，也沒有物體所帶電荷的度量。根據(jù)實(shí)驗(yàn)需要，庫侖利用對稱性原理改變金屬球的電量。他讓金屬球B先帶電，假設(shè)其電量為Q；使其與不帶電的金屬球A接觸(A球和B球都是相同的)，即A球和B球的電量都是1/2Q；如果一個(gè)不帶電的同一個(gè)球與球B接觸，然后分開，球B的電荷每重復(fù)接觸一次就會減半，Q，1/2Q，1/4Q，1/8Q，...庫侖使活動(dòng)球和固定球帶等量的相同電荷，調(diào)節(jié)兩個(gè)球之間的距離:
之一個(gè)實(shí)驗(yàn):千分尺指針指向O，用大頭針給兩個(gè)球充電后，兩個(gè)球之間的距離是36度。此時(shí)，吊線的扭轉(zhuǎn)角度為36度。
第二個(gè)實(shí)驗(yàn):根據(jù)千分尺指針O，將吊線扭轉(zhuǎn)126度后，兩個(gè)球相互靠近，兩個(gè)球之間的距離只有18度。此時(shí)吊線的扭轉(zhuǎn)角度是126度加18度，也就是144度。
第三個(gè)實(shí)驗(yàn):將吊線扭轉(zhuǎn)567度，兩個(gè)球之間的距離為8.5度。此時(shí)吊線扭轉(zhuǎn)角度為567度加8.5度，為575.5度。
分析以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得出，排斥力與距離的平方成反比。然而，扭秤實(shí)驗(yàn)在非均質(zhì)電荷實(shí)驗(yàn)中遇到了麻煩。因?yàn)榻饘俳z扭轉(zhuǎn)的恢復(fù)力矩只與角度的一次方成正比，而重力與距離的二次方成反比，也就是說，重力的變化比扭轉(zhuǎn)力快，不能保證扭秤的穩(wěn)定性。如果兩個(gè)帶電的球相距很遠(yuǎn)，誤差會很大。如果它們靠得很近，這兩個(gè)球就會經(jīng)常撞到一起。這是因?yàn)榕こ雍莒`活，會左右搖擺。兩個(gè)球體相互吸引的結(jié)果是，當(dāng)它們相互接觸時(shí)，經(jīng)常會發(fā)生電荷中和現(xiàn)象，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)無法進(jìn)行。
經(jīng)過反復(fù)思考，庫侖借鑒動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)解決。地面上物體的重力與物體到地心距離的平方成反比，即:
當(dāng)懸掛在地面上的物體以很小的振幅繞懸掛點(diǎn)擺動(dòng)時(shí)，振幅周期與物體到地心的距離成正比。根據(jù)T ∝ r，庫侖假設(shè):如果異種電荷之間的引力也與它們之間距離的平方成反比，那么就可以設(shè)計(jì)一個(gè)電擺(圖4)用于實(shí)驗(yàn)。
設(shè)庫侖球帶正電，圓金紙板帶負(fù)電。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，得到了以下結(jié)果:
之一個(gè)實(shí)驗(yàn):圓形金紙盤距離球中心9英寸，20秒內(nèi)擺動(dòng)15次。
第二個(gè)實(shí)驗(yàn):圓形金紙盤距離球心18英寸，41秒內(nèi)擺動(dòng)15次。
圖4庫侖電擺
第三個(gè)實(shí)驗(yàn):圓形金紙盤距離球心24英寸，60秒內(nèi)擺動(dòng)15次。
距離比為3 ∶ 6 ∶ 8，振動(dòng)周期比為20 ∶ 41 ∶ 60。如果符合距離的平方反比定律，則振動(dòng)周期的比值應(yīng)為20 ∶ 40 ∶ 54。第三次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與理論值相差近10%。庫侖正確地解釋了這種現(xiàn)象是由漏電引起的。這種泄漏取決于帶電體的絕緣效率、尺寸、電荷密度和空濕度。因?yàn)槊糠昼姷墓β蕮p耗大約是四十分之一，而整個(gè)實(shí)驗(yàn)大約需要四分鐘才能完成。在實(shí)驗(yàn)的四分鐘里，考慮到電的損耗，重力變小，以至于測得的擺動(dòng)時(shí)間比理論值長。
這樣經(jīng)過修正后，兩者的數(shù)值非常接近。庫侖認(rèn)為，“不同電流體之間的作用力，就像相同電流體之間的相互作用一樣，與距離的平方成反比。”庫侖用類似單擺的方法測得異種電荷間的引力也與它們距離的平方成反比，這不是通過扭轉(zhuǎn)力和靜電力的平衡得到的。
在糾正了實(shí)驗(yàn)中的錯(cuò)誤后，庫侖利用實(shí)驗(yàn)揭示了電相互作用和磁相互作用的過程。需要指出的是，庫侖只是測量了距離平方的反比關(guān)系，正式把靜電力和靜力歸納到萬有引力的范疇。需要強(qiáng)調(diào)的是，庫侖并沒有具體驗(yàn)證靜電力與電量的乘積和靜磁力與磁荷的乘積成正比。后來，德國物理學(xué)家c·高斯(C. Gauss，1777-1855)提出了直接從庫侖定律定義電荷測量的思想。1839年，高斯發(fā)表了《與距離的平方成反比的引力或斥力的普遍定理》一文，提出了靜電高斯定理。
平方反比定律的驗(yàn)證
庫侖定律是電學(xué)史上之一個(gè)定量定律，是電磁學(xué)和電磁場理論的基本定律之一，也是物理學(xué)的基本定律之一。所以從庫侖定律發(fā)現(xiàn)開始，科學(xué)家們就沒有停止過對公式中R的指數(shù)2的驗(yàn)證。這是一個(gè)有待實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的問題。
1971年，美國科學(xué)家威廉等人利用高頻高壓信號、鎖定放大器和光纖傳輸來保證實(shí)驗(yàn)條件。借助現(xiàn)代測試手段，平方反比定律的指數(shù)偏差擴(kuò)大了幾個(gè)數(shù)量級，指數(shù)2的偏差不超過10-16。所以完全可以假設(shè)指數(shù)為2。其實(shí)2的指數(shù)和光子靜止質(zhì)量mz是密切相關(guān)的，是可以相互推動(dòng)的。這是因?yàn)楝F(xiàn)有的理論都是建立在mz等于零的前提下。如果mz不為零，即使這個(gè)值很小，也會動(dòng)搖物理學(xué)大廈的基石。比如出現(xiàn)真空色散；光速可以改變；電荷不守恒等。
到目前為止，理論和實(shí)驗(yàn)表明點(diǎn)電荷力的平方反比定律是非常精確的。比如著名的α粒子散射實(shí)驗(yàn)和地球物理實(shí)驗(yàn)表明，在10-11m到107m的尺度范圍內(nèi)，庫侖定律是可靠的。
后來庫侖的科學(xué)家在這方面的研究工作主要是提高了指數(shù)n的精度，雖然這些工作也很重要，但從重要性上來說，很難和庫侖的工作相比。所以我們把電的平方反比定律叫做庫侖定律，電的單位以庫侖命名。
兩點(diǎn)啟示
一是類比法的應(yīng)用。類比是科學(xué)研究中一種重要的思維方法，被譽(yù)為科學(xué)活動(dòng)中的“偉大向?qū)А薄Ｎ锢韺W(xué)史上許多重要的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明往往都源于類比。當(dāng)向新的科學(xué)問題進(jìn)軍時(shí)，類比推理可以通過聯(lián)系新舊科學(xué)問題之間的相似性來幫助取得重大突破。通過梳理庫侖定律的建立過程，可以看出類比法在物理學(xué)研究中的重要性。將引力平方反比定律類比到電的新領(lǐng)域，使得庫侖定律從一開始就走上了正確的道路(沒有走彎路)。總之，如果萬有引力定律沒有被首先發(fā)現(xiàn)，如果沒有使用類比的方法，僅僅使用了具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累和分析，要得到嚴(yán)格意義上的庫侖定律的表達(dá)式，還需要很長的路要走。
不用說，類比也是一把雙刃劍。類比推理雖然有創(chuàng)意，但是不靠譜。偉大的德國哲學(xué)家黑格爾曾精辟地評論說，類比可能是膚淺的，也可能是深刻的。自然過程非常不同，一直在發(fā)展和變化。況且人的認(rèn)知能力也是受時(shí)代條件限制的。因此，毫無疑問，有些類比通常是暫時(shí)性的，它們無非是在物理學(xué)的發(fā)展中充當(dāng)“藥物引爆器”或“催化劑”。因?yàn)榇_切的說，完全新的東西是無法用熟悉的術(shù)語來解釋的。因此，物理學(xué)家在通過類比引入物理概念或建立新的物理定律時(shí)，不應(yīng)局限于原始類比的“一畝三分地”，也不應(yīng)把所有通過類比得到的推論都視為絕對正確。類比只是物理學(xué)家建造宏偉的物理學(xué)大廈的腳手架。物理學(xué)的大樓一旦建成，腳手架就需要拆除。
第二，理論和實(shí)驗(yàn)，就像汽車的兩個(gè)輪子，相輔相成。物理學(xué)是一門自然科學(xué)，其研究始終著眼于探索物質(zhì)世界及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。物理學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)，它的概念、定律、公式都是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。庫侖定律不僅是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，也是電和磁的萬有引力定律的推論。如果說庫侖定律是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，那么庫侖扭秤實(shí)驗(yàn)就起著重要的作用。即便如此，庫侖還是借鑒了牛頓的萬有引力理論，模仿萬有引力的大小與兩個(gè)物體質(zhì)量的關(guān)系，“想當(dāng)然”地認(rèn)為兩個(gè)電荷之間的作用力也與兩個(gè)電荷的電量成正比。沒有這個(gè)前提，就沒有辦法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)電量的測量還沒有建立起來。
根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，庫侖和其他科學(xué)家不能確定平方反比關(guān)系，但比2多一點(diǎn)。回顧庫侖定律的發(fā)現(xiàn)過程，我們可以看到，如果不是科學(xué)家把實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的平方修正當(dāng)成實(shí)驗(yàn)誤差，然后刪除，庫侖定律不會這么快成立。諾獎(jiǎng)得主李政道提出“物理學(xué)家定律”，準(zhǔn)確概括了理論與實(shí)驗(yàn)的關(guān)系:“沒有實(shí)驗(yàn)者，理論家就會迷失方向；沒有理論家，實(shí)驗(yàn)者就會猶豫。”老實(shí)說，只有通過實(shí)驗(yàn)和理論的合作和相互鼓勵(lì)，物理學(xué)才能建造出宏偉的建筑。
