一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：十進(jìn)制是當(dāng)今世界各國通用的記數(shù)進(jìn)位制。在計數(shù)時，每相鄰兩個單位之間的進(jìn)率都是十，即逢十進(jìn)一的法則，稱為十進(jìn)制。我國古代和古希臘都是采用十進(jìn)制來計數(shù)和記數(shù)。現(xiàn)在世界通用的數(shù)字是印度---阿拉伯?dāng)?shù)字，即以0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字記數(shù)。在計算時逢十進(jìn)一，即低位上的數(shù)大于或等于10而小于20時往高位上加1，低位上的數(shù)大于或等于10而小于30時往高位上加2，以此類推。采用十進(jìn)制計數(shù)法的數(shù)，稱為十進(jìn)制數(shù)或十進(jìn)數(shù)。在數(shù)的使用中涉及不同進(jìn)位制時，為了區(qū)別它們，常用符號“( )10”表示十進(jìn)數(shù)。十進(jìn)數(shù)可以同其他進(jìn)制的數(shù)（如二進(jìn)數(shù)、八進(jìn)數(shù)）互化。
小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材對十進(jìn)制給出了明確定義：每相鄰的兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十，這種計數(shù)方法叫作十進(jìn)制計數(shù)法。
二．概念解讀
在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)過以2、3、4為原始的數(shù)基，但比較多的還是以5、10、20、60為數(shù)基，即五進(jìn)制、十進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制。最多的是以10為數(shù)基，即現(xiàn)在世界各國通用的十進(jìn)制，亦即“滿十進(jìn)一”的方法。當(dāng)然在計算機(jī)時代，二進(jìn)制也發(fā)揮了巨大的作用。
古巴比倫的記數(shù)法雖有位值制的意義，但它采用的是六十進(jìn)位，計算非常繁瑣。古埃及的數(shù)系具有簡單、淳樸的風(fēng)格，從一到十只有兩個數(shù)字符號，從一百到一千萬有四個數(shù)字符號，而且這些符號都是象形的，如用一只鳥表示十萬。其他數(shù)用這些符號累加起來表示，雖然用十進(jìn)記數(shù)法，但不是位值制。古希臘由于幾何發(fā)達(dá)，因而輕視計算，記數(shù)方法落后，是用全部希臘字母來表示一到一萬的數(shù)字，字母不夠用了就用加符號“‘”等方法來補(bǔ)充。古羅馬創(chuàng)建的數(shù)系與古埃及數(shù)系有許多相似之處，采用的是累積法，如用ccc表示300。古代印度既有用字母表示法，又有累計法，到公元7世紀(jì)時方采用十進(jìn)位值制，這很可能是受到我國的影像。現(xiàn)通用的印度---阿拉伯?dāng)?shù)字和記數(shù)法，大約10世紀(jì)才傳到歐洲。
十進(jìn)位值值，是中國的一大發(fā)明。從商代陶文和甲骨文中，可以看到當(dāng)時已能夠用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這十三個單字，記十萬以內(nèi)的任何自然數(shù)。其記數(shù)法是按照十進(jìn)制的方法來記數(shù)的，并且已經(jīng)采用了位值制記數(shù)法，這在世界數(shù)學(xué)史上有重大意義。正如著名的英國科學(xué)史學(xué)家李約瑟博士所指出的那樣：“如果沒有這種十進(jìn)位制，就不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個統(tǒng)一化的世界了。”《孫子算經(jīng)》中記載“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬千相當(dāng)”，介紹的就是用算籌記數(shù)的方法。即個位用縱式，十位用橫式，以此類推的“縱橫相間”，遇到零時，留個空位。顯然，任何自然數(shù)都可以用算籌表示出來，而且這是一種十進(jìn)位值記數(shù)法---既“逢十進(jìn)一”，又按位置表示不同的數(shù)值。它比古巴比倫的六十進(jìn)位制方便，比古希臘、古羅馬的十進(jìn)非位值制先進(jìn)。有學(xué)者認(rèn)為“印度---阿拉伯?dāng)?shù)字的制造，借鑒于中國古代的十進(jìn)位值制記數(shù)法”。馬克思也稱中國的十進(jìn)位值制是“最妙的發(fā)明之一”。
但我國的算籌記數(shù)方法也有一大缺點，就是沒有表示“0”的算籌。若表示沒有時，就用“空位”表示，事實上這在進(jìn)行籌算時很容易混淆。直到數(shù)字“0”發(fā)明后，十進(jìn)位值制的印度---阿拉伯?dāng)?shù)系才成為當(dāng)前最完備的記數(shù)系統(tǒng)。
三．教學(xué)建議
(1)結(jié)合生活實例引出進(jìn)制
十進(jìn)位值制是數(shù)認(rèn)識教學(xué)中的一個核心概念，它本身比較抽象，不利于學(xué)生理解、掌握。教學(xué)時，教師應(yīng)結(jié)合生活實例，讓學(xué)生親身經(jīng)歷十進(jìn)制產(chǎn)生的過程，體會十進(jìn)位值制的本質(zhì)特征。教師可以通過問題串讓學(xué)生了解到生活中不僅有很多的事情和進(jìn)制有關(guān)，而且進(jìn)制不同。比如，通過提問“半斤八兩”的含義，讓學(xué)生了解到古人的1斤是16兩，故“半斤”就等于“八兩”---實質(zhì)上用的就是十六進(jìn)制。進(jìn)而，教師可以再請學(xué)生想一想：生活中還有哪些數(shù)值和進(jìn)制有關(guān)？學(xué)生會根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：1年等于12月---實質(zhì)是十二進(jìn)制；1分等于60秒，1小時等于60分---實質(zhì)是六十進(jìn)制；1米等于10分米，1分米等于10厘米---實質(zhì)是十進(jìn)制。這些實例的引出，不僅讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生一種親切感，而且體會到生活中有很多事離不開進(jìn)制。
(2)加強(qiáng)直觀操作，加深對十進(jìn)制的理解
為了幫助學(xué)生更好地體會十進(jìn)位值制的意義，教學(xué)時，可以借助實物（如手）、直觀模型（如小棒、方塊、計數(shù)器數(shù)軸）等來加深理解，特別是要鼓勵學(xué)生操作“直觀模型”加以體會。比如對20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，學(xué)生將正式開始由逐一計數(shù)到按群計數(shù)，學(xué)習(xí)“1個十相當(dāng)于10個一”。這時要鼓勵學(xué)生操作小棒，把10根小棒捆在一起當(dāng)作“1個十”，并將這1捆小棒對應(yīng)于計數(shù)器十位上的1顆珠子，使學(xué)生初步體會位值原理。
(3)感受十進(jìn)制計數(shù)法的價值
在古代文明中，世界各國計數(shù)的規(guī)則大多采用“十進(jìn)制”，如中國、古羅馬。但十進(jìn)位計數(shù)法離十進(jìn)位值制還有關(guān)鍵的一步“位值制”要走。所謂“位值制”，就是指相同的計數(shù)符號由于所處的位置不同可以表示大小不同的數(shù)。有了位值制，就可以用有限的數(shù)字表示無限的自然數(shù)，這是計數(shù)歷史上的一個創(chuàng)造，一個奇跡。
自然數(shù)的計數(shù)法是十進(jìn)位值制。在小學(xué)階段，對于它的學(xué)習(xí)，教材安排了多個年級。作為教師，首先要了解每個年級的具體要求，即20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，要按群計數(shù)，認(rèn)識到10個一是1個十：100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，要認(rèn)識到10個一是1個十，10個十是1個百，相同的數(shù)字0在不同數(shù)位上表示的數(shù)是不同的；萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，要學(xué)習(xí)新的數(shù)位，認(rèn)識新的計數(shù)單位，體會相鄰計數(shù)單位間的十進(jìn)關(guān)系，進(jìn)而將“個綴”擴(kuò)充到“萬級”、“億級”等，完整學(xué)習(xí)表示所有自然數(shù)的方法。還要了解小數(shù)的知識：認(rèn)識小數(shù)的計數(shù)方法---計數(shù)單位、進(jìn)率。其次，可以將“數(shù)的產(chǎn)生”和“十進(jìn)制計數(shù)法”貫穿在數(shù)的發(fā)展歷史的大背景中，讓學(xué)生自主完成關(guān)于數(shù)知識體系的建構(gòu)。同時，使學(xué)生在學(xué)會計數(shù)的過程中，感受十進(jìn)位值制的偉大之處。
四．推薦閱讀
(1)《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》（張丹，北京師范大學(xué)出版社，2010）
該書從“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的“核心詞”、數(shù)的意義的教學(xué)策略、數(shù)的表示的教學(xué)策略三方面進(jìn)行了較翔實的介紹。
(2)《數(shù)學(xué)思想概論---數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象》（史寧中，東北師范大學(xué)出版社，2008）
該書第一講和第二講從數(shù)量的本質(zhì)，十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)的抽象過程，各種進(jìn)位記數(shù)及其分析，數(shù)的性質(zhì)及其研究歷程對數(shù)的表示和數(shù)的性質(zhì)兩方面進(jìn)行了較翔實的介紹。
